On tombe sur cos cos sin sin pour la première fois en Première, souvent dans un exercice où il faut simplifier une expression du type cos(a – b). Le réflexe classique : chercher la formule dans le formulaire, recopier, prier pour ne pas se tromper de signe.
Le problème, c’est que cette approche ne tient pas au-delà du devoir surveillé suivant. Pour ancrer la formule cos a cos b + sin a sin b = cos(a – b), on a besoin de la manipuler dans des situations variées, pas de la relire dix fois.
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Erreurs de signe dans cos(a – b) et cos(a + b) : le piège récurrent
La confusion la plus fréquente porte sur le signe central. Quand on passe de cos(a – b) à cos(a + b), le « + » devient « – » dans la formule développée, et inversement. C’est contre-intuitif : la soustraction dans l’angle donne une addition entre les deux produits.
Voici la paire à graver :
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- cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b (signe opposé à celui de l’angle)
- cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b (même logique inversée)
- Moyen mnémotechnique : « cos contrarie » – le signe dans la formule est toujours le contraire de celui dans l’argument
Cette règle du signe contraire est le point sur lequel les copies perdent le plus de points. Les évaluations nationales récentes confirment d’ailleurs une difficulté récurrente des élèves à manipuler les égalités trigonométriques, notamment le passage entre identité numérique et identité fonctionnelle.
Exercice corrigé : calculer cos(pi/12) avec la formule cos cos sin sin
On veut la valeur exacte de cos(π/12). L’angle π/12 n’est pas un angle remarquable, mais on peut l’écrire comme différence de deux angles connus.
Mise en place
π/12 = π/3 – π/4. On applique directement cos(a – b) avec a = π/3 et b = π/4.
cos(π/12) = cos(π/3) cos(π/4) + sin(π/3) sin(π/4)
Calcul détaillé
On injecte les valeurs remarquables : cos(π/3) = 1/2, cos(π/4) = √2/2, sin(π/3) = √3/2, sin(π/4) = √2/2.
cos(π/12) = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = √2/4 + √6/4 = (√6 + √2) / 4
Le point de vérification : on a bien un « + » dans la formule puisqu’on utilise cos(a – b). Si on avait écrit cos(π/3 + π/4) = cos(7π/12), on aurait obtenu (√2 – √6) / 4, un résultat négatif, ce qui colle puisque 7π/12 est dans le deuxième quadrant.
Exercice corrigé : démontrer une identité trigonométrique avec cos cos sin sin
Montrer que cos(x + π/3) + cos(x – π/3) = cos(x).
Développement des deux termes
On développe chaque cosinus de somme et de différence séparément.
cos(x + π/3) = cos x cos(π/3) – sin x sin(π/3) = (1/2) cos x – (√3/2) sin x
cos(x – π/3) = cos x cos(π/3) + sin x sin(π/3) = (1/2) cos x + (√3/2) sin x
Addition et simplification
En additionnant les deux expressions, les termes en sin x s’annulent :
(1/2) cos x – (√3/2) sin x + (1/2) cos x + (√3/2) sin x = cos x
On obtient bien cos x. L’astuce à retenir : quand on additionne cos(x + a) et cos(x – a), les termes en sinus disparaissent toujours. C’est un schéma qui revient dans beaucoup d’exercices de type « montrer que ».
Exercice corrigé : résoudre une équation avec la formule cos(a – b)
Résoudre cos x cos(π/4) + sin x sin(π/4) = 1/2.
Reconnaissance de la formule
Le membre de gauche a exactement la structure cos a cos b + sin a sin b. On reconnaît cos(x – π/4). L’équation devient :
cos(x – π/4) = 1/2
Résolution
On sait que cos(θ) = 1/2 pour θ = π/3 + 2kπ ou θ = -π/3 + 2kπ, avec k entier relatif.
Donc x – π/4 = π/3 + 2kπ, ce qui donne x = 7π/12 + 2kπ.
Ou x – π/4 = -π/3 + 2kπ, ce qui donne x = -π/12 + 2kπ.
La difficulté réelle de cet exercice n’est pas la résolution de l’équation en cosinus (vue au collège). C’est la reconnaissance de la forme factorisée. Beaucoup d’élèves tentent de développer davantage au lieu de factoriser. Quand on voit cos(?) cos(?) + sin(?) sin(?), le réflexe doit être immédiat : c’est cos(a – b).
Méthode de vérification rapide pour ne plus confondre les formules
On a souvent quatre formules à gérer en même temps : cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b). Plutôt que de tout mémoriser en bloc, on peut reconstruire n’importe laquelle à partir de cos(a – b).
- cos(a + b) : remplacer b par -b dans cos(a – b). Comme cos(-b) = cos b et sin(-b) = -sin b, le « + » central devient « -«
- sin(a + b) : utiliser sin θ = cos(π/2 – θ), donc sin(a + b) = cos(π/2 – a – b) = cos((π/2 – a) – b), puis développer avec la formule cos cos sin sin
- sin(a – b) : même méthode en remplaçant b par -b dans sin(a + b)
Cette approche permet de ne retenir qu’une seule formule au lieu de quatre. Le test rapide pour vérifier qu’on ne s’est pas trompé : poser a = b. Si cos(a – b) = cos(0) = 1, alors cos a cos a + sin a sin a doit valoir 1. C’est l’identité fondamentale cos²a + sin²a = 1, ce qui confirme la formule.
Dernière vérification utile : poser a = 0. cos(0 – b) = cos(-b) = cos b. Et cos(0) cos b + sin(0) sin b = 1 × cos b + 0 = cos b. Tout colle. Si un jour le résultat d’un exercice semble bizarre, ces deux tests (a = b et a = 0) prennent quelques secondes et rattrapent la majorité des erreurs de signe.
